최단 경로 문제😛
- 최단 경로 알고리즘은 가장 짧은 경로를 찾는 알고리즘을 의미
- 다양한 문제 상황
- 한 지점에서 다른 한 지점까지의 최단 경로
- 한 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로
- 모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로
- 각 지점은 그래프에서 노드로 표현
- 지점 간 연결된 도로는 그래프에서 간선으로 표현
다익스트라 최단 경로 알고리즘 개요
- 특정한 노드에서 출발하여 다른 모든 노드로 가는 최단 경로를 계산함
- 다익스트라 최단 경로 알고리즘은 음의 간선이 없을 때 정상적으로 동작
- 현실 세계의 도로(간선)은 음의 간선으로 표현되지 않음.
- 다익스트라 최단 경로 알고리즘은 그리디 알고리즘으로 분류
- 매 상황에서 가장 비용이 적은 노드를 선택해 임의의 과정을 반복
다익스트라 최단 경로 알고리즘
- 출발 노드를 설정
- 최단 거리 테이블을 초기화
- 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택
- 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블을 갱신
- 위 과정에서 3번과 4번을 반복
알고리즘 동작 과정에서 최단 거리 테이블은 각 노드에 대한 현재까지의 최단 거리 정보를 가짐.
처리 과정에서 더 짧은 경로를 찾으면 최단 거리를 새로 갱신해줌.
다익스트라 알고리즘 : 동작 과정 살펴보기
4번 노드로 가기위한 비용인 1은 이미 결정되었으므로 바뀌지 않음.(즉 이미 방문한 노드임)
따라서 3번과 5번만 체크함.
3번은 1->3 가는 경로의 비용 5보다 1 -> 4 -> 3으로 가는 것이 4로 더 작은 비용이므로 갱신
테이블에 기록되어있는 비용보다 2번을 거쳐가는 비용이 더 크기 때문에 갱신되지 않는다.
마지막 노드에 대해서는 처리를 하지 않아도 된다. 이미 모두 방문하여 갱신할 수 없기 때문에
다익스트라 알고리즘의 특징
- 그리디 알고리즘 : 매 상황에서 방문하지 않은 가장 비용이 적은 노드를 선택해 과정을 반복
- 단계를 거치며 한 번 처리된 노드의 최단 거리는 고정되어 더 이상 바뀌지 않음.
- 한 단계당 하나의 노드에 대한 최단 거리를 확실히 찾는 것으로 이해할 수 있음
- 다익스트라 알고리즘을 수행한 뒤에 테이블에 각 노드까지의 최단 거리 정보가 저장됨
- 완벽한 형태의 최단 경로를 구하려면 코드에 추가적인 기능을 더 넣어야 함
다익스트라 알고리즘 : 간단한 구현 방법
단계마다 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하기 위해
매 단계마다 1차원 테이블의 모든 원소를 확인(순차 탐색)한다.
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정
# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 리스트를 만들기
visited = [False] * (n + 1)
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)
# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
a, b, c = map(int, input().split())
# a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
graph[a].append((b, c))
# 방문하지 않은 노드 중에서, 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환
def get_smallest_node():
min_value = INF
index = 0 # 가장 최단 거리가 짧은 노드(인덱스)
for i in range(1, n + 1):
if distance[i] < min_value and not visited[i]:
min_value = distance[i]
index = i
return index
def dijkstra(start):
# 시작 노드에 대해서 초기화
distance[start] = 0
visited[start] = True
for j in graph[start]:
distance[j[0]] = j[1]
# 시작 노드를 제외한 전체 n - 1개의 노드에 대해 반복
for i in range(n - 1):
# 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서, 방문 처리
now = get_smallest_node()
visited[now] = True
# 현재 노드와 연결된 다른 노드를 확인
for j in graph[now]:
cost = distance[now] + j[1]
# 현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
if cost < distance[j[0]]:
distance[j[0]] = cost
# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)
# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n + 1):
# 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
if distance[i] == INF:
print("INFINITY")
# 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
else:
print(distance[i])
간단한 구현 방법 성능 분석
- 총 O(V)번에 걸쳐 최단 거리가 가장 짧은 노드를 매번 선형 탐색해야함
- 따라서 전체 시간 복잡도는 O(V제곱)
- 일반적으로 코딩 테스트의 최단 경로 문제에서 전체 노드의 개수가 5000개 이하라면 이 코드로 문제를 해결할 수 있음.d하지만 노드의 개수가 10000개를 넘어가는 문제라면?? 시간초과할 확률이 높음
우선순위 큐(Priority Queue)
- 우선순위가 가장 높은 데이터를 가장 먼저 삭제하는 자료구조입니다.
- 예를들어, 여러 개의 물건 데이터를 자료구조에 넣었다가 가치가 높은 물건부터 꺼내 확인해야하는 경우에 사용
- Python, C++, Java를 포함한 대부분의 프로그래밍 언어에서 표준 라이브러리 형태로 지원
힙(Heap)
- 우선순위 큐를 구현하기 위해 사용하는 자료구조 중 하나
- 최소 힙(Min Heap)과 최대 힙(Max Heap)이 있음.
- 다익스트라 최단 경로 알고리즘을 포함해 다양한 알고리즘에서 사용된다.
힙 라이브러리 사용 : 최소 힙
# 힙 라이브러리 사용 예제 : 최소 힙
import heapq
# 오름차순 힙 정렬(Heap Sort)
def heapsort(iterable):
h = []
result = []
# 모든 원소를 차례대로 힙에 삽입
for value in iterable:
heapq.heappush(h, value)
# 힙에 삽입된 모든 원소를 차례대로 꺼내어 담기
for i in range(len(h)):
result.append(heapq.heappop(h))
return result
result = heapsort([1,3,5,7,9,2,4,6,8,0])
print(result)기본적으로 최소힙으로 구현되어있음. ==> 오름차순
참고로 힙을 사용하여 k번째 수도 구할 수 있음. 백준에서 풀었던 기억이..
힙 라이브러리 사용 : 최대 힙
# 힙 라이브러리 사용 : 최대 힙
import heapq
# 오름차순 힙 정렬(Heap Sort)
def heapsort(iterable):
h = []
result = []
# 모든 원소를 차례대로 힙에 삽입
for value in iterable:
heapq.heappush(h, -value)
# 힙에 삽입된 모든 원소를 차례대로 꺼내어 담기
for i in range(len(h)):
result.append(-heapq.heappop(h))
return result
result = heapsort([1,3,5,7,9,2,4,6,8,0])
print(result)
다익스트라 알고리즘 : 개선된 구현 방법
- 단계마다 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하기 위해 힙(Heap) 자료구조를 이용
- 다익스트라 알고리즘이 동작하는 기본 원리는 동일
- 현재 가장 가까운 노드를 저장해 놓기 위해서 힙 자료구조를 추가적으로 이용한다는 점이 다름
- 현재의 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택해야 하므로 최소 힙 사용
동작 과정 살펴보기 (우선 순위 큐)
1번에서 1번으로 가는 거리는 0으로 설정.
튜플을 구성할 때 0번째를 거리로 1번째를 노드 번호로 설정하여 거리 순으로 정렬할 수 있도록 함.
갱신된 거리값을 큐에 넣어줘야함.
4번 노드에서 갈 수 있는 노드 3, 5 (1번은 이미 방문)
최소 힙에 의해서 1번에 3번으로 갈 수있는 비용은 (5, 3) 튜플보다 4번에서 3번으로 갈 수 있는 (4, 3)이 더 앞에 위치하는 것을 확인할 수 있다.
방문 처리 테이블을 만들지 않고, 큐에서 꺼낸 값이 거리 테이블에 기록된 값보다 크면 방문했다고 가정하고 넘기는 식으로 구현해도 됨.
소스코드
# 다익스트라 알고리즘 : 개선된 방법(우선순위 큐 사용)
import sys
import heapq
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정
# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 리스트를 만들기
visited = [False] * (n + 1)
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)
# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
a, b, c = map(int, input().split())
# a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
graph[a].append((b, c))
def dijkstra(start):
q = []
# 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
heapq.heappush(q, (0, start))
distance[start] = 0
while q: # 큐가 비어있지 않다면
# 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
dist, now = heapq.heappop(q)
# 현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
if distance[now] < dist:
continue
# 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
for i in graph[now]:
cost = dist + i[1]
# 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
if cost < distance[i[0]]:
distance[i[0]] = cost
heapq.heappush(q, (cost, i[0]))
# 다익스트라 알고리즘 수행
dijkstra(start)
# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n + 1):
# 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
if distance[i] == INF:
print("INFINITY")
# 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
else:
print(distance[i])visited를 사용하지 않고, 큐에서 뽑은 정보가 현재 테이블 정보보다 크다면 방문된 것으로 간주
다익스트라 알고리즘 : 개선된 구현 방법 성능 분석
- 힙 자료구조를 이용하는 다익스트라 알고리즘의 시간 복잡도는 O(ElogV)
- 노드를 하나씩 꺼내 검사하는 반복문(while문)응ㄴ 노드의 개수 V이상의 횟수로는 처리되지 않음
- 결과적으로 현재 우선순위 큐에서 꺼낸 노드와 연결된 다른 노드들을 확인하는 총 횟수는 최대 간선의 개수(E)만큼 연산이 수행될 수 있음.
- 직관적으로 전체 과정은 E개의 원소를 우선순위 큐에 넣었다가 모두 빼내는 연산과 매우 유사
- 시간 복잡도를 O(ElogE)로 판단할 수 있음
- 중복 간선을 포함하지 않은 경우에 이를 O(ElogV)로 정리할 수 있음
- O(ElogE) -> O(ElogV제곱) -> O(2ElogV) -> O(ElogV)
플로이드 워셜(Floyd-Warshall) 알고리즘
- 모든 노드에서 다른 모든 노드까지의 최단 경로를 모두 계산합니다.
- 플로이드 워셜 알고리즘은 다익스트라 알고리즘처럼 단계별로 거쳐 가는 노드를 기준으로 알고리즘을 수행
- 다만 매 단계마다 방문하지 않은 노드 중 최단 거리를 갖는 노드를 찾는 과정이 필요치 않음
- 플로이드 워셜은 2차원 테이블에 최단 거리 정보를 저장
- 플로이드 워셜 알고리즘은 DP 유형에 속함
- 노드와 간선의 개수가 적은 경우에 효율적임
- 각 단계마다 특정한 노드 k를 거쳐 가는 경우를 확인
- a에서 b로 가는 최단 거리보다 a에서 k를 거쳐 b로 가는 거리가 더 짧은지 검사
- 점화식은 아래와 같다.
동작 과정 살펴보기
k의 값이 1이고 2중 for문을 통해 모든 a에서 모든 b로가는 경로를 계산한다.
소스코드
# 플로이드 워셜 알고리즘
INF = int(1e9) # 무한을 의미
# 노드의 개수 및 간선의 개수 입력받기
n = int(input())
m = int(input())
# 2차원 리스트(그래프 표현)를 만들고, 무한으로 초기화
graph = [[INF] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]
# 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0
for i in range(1, n + 1):
for j in range(1, n + 1):
if i == j:
graph[i][j] = 0
# 각 간선에 대한 정보를 입력받아, 그 값으로 초기화
for _ in range(m):
# A에서 B로 가는 비용은 C라고 설정
a, b, c = map(int, input().split())
graph[a][b] = c
# 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘 수행
for k in range(1, n + 1):
for a in range(1, n + 1):
for b in range(1, n + 1):
graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])
# 수행 결과 출력
for a in range(1, n + 1):
for b in range(1, n + 1):
# 도달할 수 없는 경우 무한이라고 출력
if graph[a][b] == INF:
print("INFINITY", end=" ")
# 도달할 수 있는 경우 거리 출력
else:
print(graph[a][b], end=" ")
print()
성능 분석
- 노드의 개수가 N개일 때 알고리즘 상으로 N번의 단계를 수행
- 각 단계마다 O(N제곱)의 연산을 통해 현재 노드를 거쳐가는 모든 경로를 고려
- 따라서 총 시간 복잡도는 O(N세제곱)
최단경로 알고리즘 기초 문제 풀이🥺
<문제> 전보
문제 설명
문제에서의 의미 ==> 통로는 방향성이 있는 간선 ==> 방향 그래프
출발점은 C
문제 조건
내 풀이(플로이드-워셜 알고리즘 사용)
n, m, c = map(int, input().split())
graph = [[10000] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]
for i in range(1, n + 1):
for j in range(1, n + 1):
if i == j:
graph[i][j] = 0
for _ in range(m):
x, y, z = map(int, input().split())
graph[x][y] = z
for k in range(1, n + 1):
for a in range(1, n + 1):
for b in range(1, n + 1):
graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])
print(n - graph[c].count(10000), max(graph[c][1:]))문제 해결 아이디어를 보고 다익스트라 알고리즘으로 다시 구현한 내 풀이
# 다익스트라 알고리즘을 사용
import heapq
n, m, c = map(int, input().split())
graph = [[] for _ in range(n + 1)]
distance = [10000] * (n + 1)
for _ in range(m):
x, y, z = map(int, input().split())
graph[x].append((y, z))
def dijkstra(start):
q = []
# 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
heapq.heappush(q, (0, start))
distance[start] = 0
while q: # 큐가 비어있지 않다면
# 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
dist, now = heapq.heappop(q)
# 현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
if distance[now] < dist:
continue
# 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
for i in graph[now]:
cost = dist + i[1]
# 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
if cost < distance[i[0]]:
distance[i[0]] = cost
heapq.heappush(q, (cost, i[0]))
dijkstra(c)
print(n - distance.count(10000), max(distance[1:]))
문제 해결 아이디어
- 핵심 아이디어 : 한 도시에서 다른 도시까지의 최단 거리 문제로 치환할 수 있음.
- N과 M의 범위가 충분히 크기 때문에 우선순위 큐를 활용한 다익스트라 알고리즘으로 구현
답안 예시
import heapq
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정
# 노드의 개수, 간선의 개수, 시작 노드를 입력받기
n, m, start = map(int, input().split())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)
# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
x, y, z = map(int, input().split())
# X번 노드에서 Y번 노드로 가는 비용이 Z라는 의미
graph[x].append((y, z))
def dijkstra(start):
q = []
# 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
heapq.heappush(q, (0, start))
distance[start] = 0
while q: # 큐가 비어있지 않다면
# 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보를 꺼내기
dist, now = heapq.heappop(q)
if distance[now] < dist:
continue
# 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
for i in graph[now]:
cost = dist + i[1]
# 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
if cost < distance[i[0]]:
distance[i[0]] = cost
heapq.heappush(q, (cost, i[0]))
# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)
# 도달할 수 있는 노드의 개수
count = 0
# 도달할 수 있는 노드 중에서, 가장 멀리 있는 노드와의 최단 거리
max_distance = 0
for d in distance:
# 도달할 수 있는 노드인 경우
if d != 1e9:
count += 1
max_distance = max(max_distance, d)
# 시작 노드는 제외해야 하므로 count - 1을 출력
print(count - 1, max_distance)
<문제> 미래 도시
문제 설명
문제 조건
내 풀이
# 내 풀이
n, m = map(int, input().split())
graph = [[10000] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]
for i in range(1, n + 1):
for j in range(1, n + 1):
if i == j:
graph[i][j] = 0
for _ in range(m):
x, y = map(int, input().split())
graph[x][y] = 1
for k in range(1, n + 1):
for a in range(1, n + 1):
for b in range(1, n + 1):
graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])
x, k = map(int, input().split())
if graph[1][x] == 10000 or graph[1][k] == 10000:
print(-1)
else:
print(graph[1][x] + graph[1][k])
문제 해결 아이디어
- 핵심 아이디어 : 전형적인 최단 거리 문제이므로 최단 거리 알고리즘을 이용해 해결한다.
- N의 크기가 최대 100이므로 플로이드 워셜 알고리즘을 이용해도 효율적으로 해결할 수 있음
- 플로이드 워셜 알고리즘을 수행한 뒤에 1~x 까지의 최단거리 + x~k 까지의 최단거리를 구하면 됨
답안 예시
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정
# 노드의 개수 및 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 2차원 리스트(그래프 표현)를 만들고, 모든 값을 무한으로 초기화
graph = [[INF] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]
# 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
for a in range(1, n + 1):
for b in range(1, n + 1):
if a == b:
graph[a][b] = 0
# 각 간선에 대한 정보를 입력 받아, 그 값으로 초기화
for _ in range(m):
# A와 B가 서로에게 가는 비용은 1이라고 설정
a, b = map(int, input().split())
graph[a][b] = 1
graph[b][a] = 1
# 거쳐 갈 노드 X와 최종 목적지 노드 K를 입력받기
x, k = map(int, input().split())
# 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘을 수행
for k in range(1, n + 1):
for a in range(1, n + 1):
for b in range(1, n + 1):
graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])
# 수행된 결과를 출력
distance = graph[1][k] + graph[k][x]
# 도달할 수 없는 경우, -1을 출력
if distance >= 1e9:
print("-1")
# 도달할 수 있다면, 최단 거리를 출력
else:
print(distance)아 양방향이라서 내 코드에 graph[y][x] = 1을 한줄 추가해줘야하네
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