이진 탐색

이진 탐색 알고리즘

• 순차 탐색 : 리스트 안에 특정한 데이터를 찾기 위해 앞에서부터 데이터를 하나씩 확인하는 방법
• 이진 탐색 : 정렬되어 있는 리스트에서 탐색 범위의 절반씩 좁혀가며 데이터를 탐색하는 방법
  • 이진 탐색은 시작점, 끝점, 중간점을 이용하여 탐색 범위를 설정합니다.

 

 

이진 탐색의 시간 복잡도

• 단계마다 탐색 범위를 2로 나누는 것과 동일하므로 연산 횟수는 log2n에 비례합니다.
• 예를 들어 초기 데이터 개수가 32개일 때, 이상적으로 1단계를 거치면 16개가량의 데이터만 남습니다.
  • 2단계 8개
  • 3단계 4개
• 다시 말해 이진탐색은 탐색 범위를 절반씩 줄이며, 시간 복잡도는 O(logN)을 보장합니다.

 

 

이진 탐색 소스코드 : 재귀적 구현

def binary_search(array, target, start, end):
    if start > end:
        return None
    mid = (start + end) // 2
    # 찾은 경우 중간점 인덱스 반환
    if array[mid] == target:
        return mid
    # 중간점의 값보다 찾고자 하는 값이 작은 경우 왼쪽 확인
    elif array[mid] > target:
        return binary_search(array, target, start, mid -1)
    else:
        return binary_search(array, target, mid + 1, end)

# n(원소의 개수)과 target(찾고자 하는 값)을 입력 받기
n, target = list(map(int, input().split()))
# 전체 원소 입력 받기
array = list(map(int, input().split()))

# 이진 탐색 수행 결과 출력
result = binary_search(array, target, 0, n-1)
if result == None:
    print("원소가 존재하지 않습니다.")
else:
    print(result + 1)

 

 

파이썬 이진 탐색 라이브러리

• bisect_left(a, x) : 정렬된 순서를 유지하면서 배열 a에 x를 삽입할 가장 왼쪽 인덱스를 반환
• bisect_right(a, x) : 정렬된 순서를 유지하면서 배열 a에 x를 삽입할 가장 오른쪽 인덱스를 반환

from bisect import bisect_left, bisect_right

a = [1, 2, 4, 4, 8]
x = 4
print(bisect_left(a,x))
print(bisect_right(a,x))

출력 결과 ==> 2 4

 

 

값이 특정 범위에 속하는 데이터 개수 구하기

# 값이 특정 범위에 속하는 데이터 개수 구하기
from bisect import bisect_left, bisect_right

def count_by_range(a, left_value, right_value):
    right_index = bisect_right(a, right_value)
    left_index = bisect_left(a, left_value)
    return right_index - left_index

#배열 선언
a = [1, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 8, 9]

# 값이 4인 데이터 개수 출력
print(count_by_range(a, 4, 4))

# 값이 [-1, 3] 범위에 있는 데이터 개수 출력
print(count_by_range(a, -1, 3))

출력 결과 ==> 2 6

 

 

파라메트릭 서치(Parametric Search)

• 파라메트릭 서치란 최적화 문제를 결정 문제(예, 아니오)로 바꾸어 해결하는 기법
  • 예시 : 특정한 조건을 만족하는 가장 알맞은 값을 빠르게 찾는 최적화 문제
• 일반적으로 코딩테스트에서 파라메트릭 서치 문제는 이진 탐색을 이용하여 해결할 수 있습니다.

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<문제> 떡볶이 떡 만들기 : 문제 설명

• 오늘 동빈이는 여행 가신 부모님을 대신해서 떡집 일을 하기로 했습니다. 오늘은 떡볶이를 만드는 날입니다. 동빈이네 떡볶이 떡은 재밌게도 떡볶이 떡의 길이가 일정하지 않습니다. 대신에 한 봉지 안에 들어가 있는 떡의 총 길이는 절단기로 잘라서 맞춰줍니다.
• 절단기 높이(H)를 지정하면 줄지어진 떡을 한 번에 절단합니다. 높이가 H보다 긴 떡은 H 위의 부분이 잘릴 것이고, 낮은 떡은 잘리지 않습니다.
• 예를 들어 높이가 19, 14, 10, 17cm인 떡이 나란히 있고 절단기 높이를 15cm로 지정하면 자른 뒤 떡의 높이는 15, 14, 10, 15cm가 될 것입니다. 잘린 떡의 길이대로 차례대로 4, 0, 0, 2cm입니다. 손님은 6cm만큼의 길이를 가져갑니다.
• 손님이 왔을 때 요청한 총 길이가 M일 때 적어도 M만큼의 떡을 얻기 위해 절단기에 설정할 수 있는 높이의 최댓값을 구하는 프로그램을 작성하세요.

 

* 문제 조건

• 입력 조건
  • 첫째 줄에 떡의 개수 N과 요청한 떡의 길이 M이 주어집니다. (1 <= N <= 1,000,000, 1 <= M <= 2,000,000,000)
  • 둘째 줄에 떡의 개별 높이가 주어집니다. 떡 높이의 총합은 항상 M이상이므로, 손님은 필요한 양만큼 떡을 사갈 수 있습니다. 높이는 10억보다 같거나 작은 약의 정수 또는 0 입니다.
• 출력 조건
  • 적어도 M만큼의 떡을 집에 가져가기 위해 절단기에 설정할 수 있는 높이의 최댓값을 출력합니다.
• 입력 예시
  • 4 6
  • 19 15 10 17
• 출력 예시
  • 15

 

내 풀이

이진탐색을 해야하기 때문에 입력을 정렬시켜줌.

떡을 자르는 cut_dduk함수를 통하여 max값을 구했다.

마지막 return할 때 -1을 한 이유는, break문이 m보다 sum이 작을 때이므로, 그보다 1작은 값이 max값이다.

 

from bisect import bisect_left, bisect_right
def cut_dduk(array, m, n):
    max = 1
    while True:
        sum = 0
        temp = 0
        start = bisect_left(array,max)
        for i in range(start, n):
            temp = array[i] - max
            if temp < 0:
                temp = 0
            sum += temp
        if sum < m:
            break
        max += 1
    return max-1


n, m = map(int, input().split())
dduk = list(map(int, input().split()))
dduk.sort()
print(cut_dduk(dduk, m, n))

 

 

* 문제 해결 아이디어

• 적절한 높이로 찾을 때까지 이진 탐색을 수행하여 높이 H를 반복해서 조정하면 됩니다.
• '현재 이 높이로 자르면 조건을 만족할 수 있는가?'를 확인한 뒤에 조건의 만족 여부에 ('예', '아니오')에 따라서 탐색 범위를 좁혀서 해결할 수 있습니다.
• 절단기 높이는 0부터 10억까지의 정수입니다.
  • 이렇게 큰 탐색 범위를 보면 가장 먼저 이진 탐색을 떠올려야 함.
• 문제에서 제시된 예시를 통해 그림으로 이해해 봅시다.

• 이러한 이진 탐색의 과정을 반복하면 답을 도출할 수 있습니다.
• 중간점의 값은 시간이 지날수록 최적화된 값이 되기 때문에, 과정을 반복하면서 얻을 수 있는 떡의 길이 합이 필요한 떡의 길이보다 크거나 같을 때마다 중간점의 값을 기록하면 됩니다.

 

* 답안 예시

# 떡의 개수(N)와 요청한 떡의 길이(M)을 입력
n ,m = list(map(int, input().split(" ")))
# 각 떡의 개별 높이 정보를 입력
array = list(map(int, input().split()))

#이진 탐색을 위한 시작점과 끝점 설정
start = 0
end = max(array)

# 이진 탐색 수행 (반복적)
result = 0
while(start <= end):
    total = 0
    mid (start + end) // 2
    for x in array:
        # 잘랐을 때의 떡의 양 계산
        if x > mid:
            total += x - mid
    # 떡의 양이 부족한 경우 더 많이 자르기 (왼쪽 부분 탐색)
    if total < m:
        end = mid -1
    # 떡의 양이 충분한 경우 덜 자르기 (오른쪽 부분 탐색)
    else:
        result = mid # 최대한 덜 잘랐을 때가 정답이므로, 여기에서 result에 기록
        start = mid + 1

#정답 출력
print(result)

 

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<문제> 정렬된 배열에서 특정 수의 개수 구하기

* 문제 설명

• N개의 원소를 포함하고 있는 수열이 오름차순으로 정렬되어 있습니다. 이때 이 수열에서 x가 등장하는 횟수를 계산하세요. 예를 들어 수열 {1, 1, 2, 2, 2, 2, 3}이 있을 때 x = 2라면, 현재 수열에서 값이 2인 원소가 4개이므로 4를 출력합니다. 
• 단, 이 문제는 시간 복잡도 O(logN)으로 알고리즘을 설계하지 않으면 시간 초과

 

* 문제 조건

• 입력 조건
  • 첫째 줄에 N과 x가 정수 형태로 공백으로 구분되어 입력된다.
  • 1 <= N <= 1,000,000 , -1,000,000,000 <= x <= 1,000,000,000
  • 둘째 줄에 N개의 원소가 정수 형태로 공백으로 구분되어 입력됩니다.
  • -1,000,000,000 <= 각 원소값 <= 1,000,000,000 
• 출력 조건
  • 수열의 원소 중에서 값이 x인 원소의 개수를 출력합니다. 단, 값이 x인 원소가 하나도 없다면 -1을 출력
• 입력 예시 1
  • 7 2
  • 1 1 2 2 2 2 3
• 출력 예시 1
  • 4

 

* 나의 풀이

from bisect import bisect_left, bisect_right
n, x = map(int, input().split())
num_list = list(map(int, input().split()))
if bisect_right(num_list,x)-bisect_left(num_list,x):
    print(bisect_right(num_list,x)-bisect_left(num_list,x))
else:
    print(-1)

 

 

* 문제 해결 아이디어

• 시간 복잡도 O(logN)으로 동작하는 알고리즘을 요구
  • 선형탐색으로는 시간 초과
  • 데이터가 정렬되어 있기 때문에 이진 탐색을 수행하면 된다.
• 특정 값이 등장하는 첫 번째 위치와 마지막 위치를 찾아서 차를 계산하면 해결할 수 있다.

 

 

* 답안 예시

from bisect import bisect_left, bisect_right
def count_by_range(a, left_value, right_value):
    right_index = bisect_right(a, right_value)
    left_index = bisect_left(a, left_value)
    return right_index - left_index

n, x = map(int, input().split())
array = list(map(int, input().split()))

count = count_by_range(array, x, x)
if count == 0:
    print(-1)
else:
    print(count)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

출처 : 유튜브 [동빈나]님의 강의를 보며 공부했습니다.