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최단 경로 알고리즘(Shortest Path)

민철킹 2021. 3. 30. 22:47

최단 경로 문제😛

  • 최단 경로 알고리즘은 가장 짧은 경로를 찾는 알고리즘을 의미
  • 다양한 문제 상황
    • 한 지점에서 다른 한 지점까지의 최단 경로
    • 한 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로
    • 모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로
  • 각 지점은 그래프에서 노드로 표현
  • 지점 간 연결된 도로는 그래프에서 간선으로 표현

 

 

다익스트라 최단 경로 알고리즘 개요

  • 특정한 노드에서 출발하여 다른 모든 노드로 가는 최단 경로를 계산함
  • 다익스트라 최단 경로 알고리즘은 음의 간선이 없을 때 정상적으로 동작
    • 현실 세계의 도로(간선)은 음의 간선으로 표현되지 않음.
  • 다익스트라 최단 경로 알고리즘은 그리디 알고리즘으로 분류
    • 매 상황에서 가장 비용이 적은 노드를 선택해 임의의 과정을 반복

 

다익스트라 최단 경로 알고리즘

  1. 출발 노드를 설정
  2. 최단 거리 테이블을 초기화
  3. 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택
  4. 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블을 갱신
  5. 위 과정에서 3번과 4번을 반복

 

알고리즘 동작 과정에서 최단 거리 테이블은 각 노드에 대한 현재까지의 최단 거리 정보를 가짐.

처리 과정에서 더 짧은 경로를 찾으면 최단 거리를 새로 갱신해줌.

 

다익스트라 알고리즘 : 동작 과정 살펴보기

4번 노드로 가기위한 비용인 1은 이미 결정되었으므로 바뀌지 않음.(즉 이미 방문한 노드임)

따라서 3번과 5번만 체크함.

3번은 1->3 가는 경로의 비용 5보다 1 -> 4 -> 3으로 가는 것이 4로 더 작은 비용이므로 갱신

테이블에 기록되어있는 비용보다 2번을 거쳐가는 비용이 더 크기 때문에 갱신되지 않는다.

마지막 노드에 대해서는 처리를 하지 않아도 된다. 이미 모두 방문하여 갱신할 수 없기 때문에

 

다익스트라 알고리즘의 특징

  • 그리디 알고리즘 : 매 상황에서 방문하지 않은 가장 비용이 적은 노드를 선택해 과정을 반복
  • 단계를 거치며 한 번 처리된 노드의 최단 거리는 고정되어 더 이상 바뀌지 않음.
    • 한 단계당 하나의 노드에 대한 최단 거리를 확실히 찾는 것으로 이해할 수 있음
  • 다익스트라 알고리즘을 수행한 뒤에 테이블에 각 노드까지의 최단 거리 정보가 저장됨
    • 완벽한 형태의 최단 경로를 구하려면 코드에 추가적인 기능을 더 넣어야 함

 

다익스트라 알고리즘 : 간단한 구현 방법

단계마다 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하기 위해

매 단계마다 1차원 테이블의 모든 원소를 확인(순차 탐색)한다.

 

import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 리스트를 만들기
visited = [False] * (n + 1)
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())
    # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
    graph[a].append((b, c))

# 방문하지 않은 노드 중에서, 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환
def get_smallest_node():
    min_value = INF
    index = 0 # 가장 최단 거리가 짧은 노드(인덱스)
    for i in range(1, n + 1):
        if distance[i] < min_value and not visited[i]:
            min_value = distance[i]
            index = i
    return index

def dijkstra(start):
    # 시작 노드에 대해서 초기화
    distance[start] = 0
    visited[start] = True
    for j in graph[start]:
        distance[j[0]] = j[1]
    # 시작 노드를 제외한 전체 n - 1개의 노드에 대해 반복
    for i in range(n - 1):
        # 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서, 방문 처리
        now = get_smallest_node()
        visited[now] = True
        # 현재 노드와 연결된 다른 노드를 확인
        for j in graph[now]:
            cost = distance[now] + j[1]
            # 현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[j[0]]:
                distance[j[0]] = cost

# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n + 1):
    # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
    if distance[i] == INF:
        print("INFINITY")
    # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
    else:
        print(distance[i])

 

간단한 구현 방법 성능 분석

  • 총 O(V)번에 걸쳐 최단 거리가 가장 짧은 노드를 매번 선형 탐색해야함
  • 따라서 전체 시간 복잡도는 O(V제곱)
  • 일반적으로 코딩 테스트의 최단 경로 문제에서 전체 노드의 개수가 5000개 이하라면 이 코드로 문제를 해결할 수 있음.d하지만 노드의 개수가 10000개를 넘어가는 문제라면?? 시간초과할 확률이 높음

 

 

우선순위 큐(Priority Queue)

  • 우선순위가 가장 높은 데이터를 가장 먼저 삭제하는 자료구조입니다.
  • 예를들어, 여러 개의 물건 데이터를 자료구조에 넣었다가 가치가 높은 물건부터 꺼내 확인해야하는 경우에 사용
  • Python, C++, Java를 포함한 대부분의 프로그래밍 언어에서 표준 라이브러리 형태로 지원

 

힙(Heap)

  • 우선순위 큐를 구현하기 위해 사용하는 자료구조 중 하나
  • 최소 힙(Min Heap)과 최대 힙(Max Heap)이 있음.
  • 다익스트라 최단 경로 알고리즘을 포함해 다양한 알고리즘에서 사용된다.

 

힙 라이브러리 사용 : 최소 힙

# 힙 라이브러리 사용 예제 : 최소 힙
import heapq

# 오름차순 힙 정렬(Heap Sort)
def heapsort(iterable):
    h = []
    result = []
    # 모든 원소를 차례대로 힙에 삽입
    for value in iterable:
        heapq.heappush(h, value)
    # 힙에 삽입된 모든 원소를 차례대로 꺼내어 담기
    for i in range(len(h)):
        result.append(heapq.heappop(h))
    return result
result = heapsort([1,3,5,7,9,2,4,6,8,0])
print(result)

기본적으로 최소힙으로 구현되어있음. ==> 오름차순

참고로 힙을 사용하여 k번째 수도 구할 수 있음. 백준에서 풀었던 기억이..

 

힙 라이브러리 사용 : 최대 힙

# 힙 라이브러리 사용 : 최대 힙
import heapq

# 오름차순 힙 정렬(Heap Sort)
def heapsort(iterable):
    h = []
    result = []
    # 모든 원소를 차례대로 힙에 삽입
    for value in iterable:
        heapq.heappush(h, -value)
    # 힙에 삽입된 모든 원소를 차례대로 꺼내어 담기
    for i in range(len(h)):
        result.append(-heapq.heappop(h))
    return result
result = heapsort([1,3,5,7,9,2,4,6,8,0])
print(result)

 

 

다익스트라 알고리즘 : 개선된 구현 방법

  • 단계마다 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하기 위해 힙(Heap) 자료구조를 이용
  • 다익스트라 알고리즘이 동작하는 기본 원리는 동일
    • 현재 가장 가까운 노드를 저장해 놓기 위해서 힙 자료구조를 추가적으로 이용한다는 점이 다름
    • 현재의 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택해야 하므로 최소 힙 사용

 

동작 과정 살펴보기 (우선 순위 큐)

1번에서 1번으로 가는 거리는 0으로 설정.

튜플을 구성할 때 0번째를 거리로 1번째를 노드 번호로 설정하여 거리 순으로 정렬할 수 있도록 함.

 

갱신된 거리값을 큐에 넣어줘야함.

 

4번 노드에서 갈 수 있는 노드 3, 5 (1번은 이미 방문)

최소 힙에 의해서 1번에 3번으로 갈 수있는 비용은 (5, 3) 튜플보다 4번에서 3번으로 갈 수 있는 (4, 3)이 더 앞에 위치하는 것을 확인할 수 있다.

 

 

 

 

방문 처리 테이블을 만들지 않고, 큐에서 꺼낸 값이 거리 테이블에 기록된 값보다 크면 방문했다고 가정하고 넘기는 식으로 구현해도 됨.

 

 

소스코드

# 다익스트라 알고리즘 : 개선된 방법(우선순위 큐 사용)
import sys
import heapq
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 리스트를 만들기
visited = [False] * (n + 1)
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())
    # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
    graph[a].append((b, c))

def dijkstra(start):
    q = []
    # 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
    heapq.heappush(q, (0, start))
    distance[start] = 0
    while q: # 큐가 비어있지 않다면
        # 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
        dist, now = heapq.heappop(q)
        # 현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
        if distance[now] < dist:
            continue
        # 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
        for i in graph[now]:
            cost = dist + i[1]
            # 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[i[0]]:
                distance[i[0]] = cost
                heapq.heappush(q, (cost, i[0]))


# 다익스트라 알고리즘 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n + 1):
    # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
    if distance[i] == INF:
        print("INFINITY")
    # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
    else:
        print(distance[i])

visited를 사용하지 않고, 큐에서 뽑은 정보가 현재 테이블 정보보다 크다면 방문된 것으로 간주

 

다익스트라 알고리즘 : 개선된 구현 방법 성능 분석

  • 힙 자료구조를 이용하는 다익스트라 알고리즘의 시간 복잡도는 O(ElogV)
  • 노드를 하나씩 꺼내 검사하는 반복문(while문)응ㄴ 노드의 개수 V이상의 횟수로는 처리되지 않음
    • 결과적으로 현재 우선순위 큐에서 꺼낸 노드와 연결된 다른 노드들을 확인하는 총 횟수는 최대 간선의 개수(E)만큼 연산이 수행될 수 있음.
  • 직관적으로 전체 과정은 E개의 원소를 우선순위 큐에 넣었다가 모두 빼내는 연산과 매우 유사
    • 시간 복잡도를 O(ElogE)로 판단할 수 있음
    • 중복 간선을 포함하지 않은 경우에 이를 O(ElogV)로 정리할 수 있음
      • O(ElogE) -> O(ElogV제곱) -> O(2ElogV) -> O(ElogV)

 

플로이드 워셜(Floyd-Warshall) 알고리즘

  • 모든 노드에서 다른 모든 노드까지의 최단 경로를 모두 계산합니다.
  • 플로이드 워셜 알고리즘은 다익스트라 알고리즘처럼 단계별로 거쳐 가는 노드를 기준으로 알고리즘을 수행
    • 다만 매 단계마다 방문하지 않은 노드 중 최단 거리를 갖는 노드를 찾는 과정이 필요치 않음
  • 플로이드 워셜은 2차원 테이블에 최단 거리 정보를 저장
  • 플로이드 워셜 알고리즘은 DP 유형에 속함
  • 노드와 간선의 개수가 적은 경우에 효율적임
  • 각 단계마다 특정한 노드 k를 거쳐 가는 경우를 확인
    • a에서 b로 가는 최단 거리보다 a에서 k를 거쳐 b로 가는 거리가 더 짧은지 검사
  • 점화식은 아래와 같다.

 

 

동작 과정 살펴보기

 

k의 값이 1이고 2중 for문을 통해 모든 a에서 모든 b로가는 경로를 계산한다. 

 

소스코드

# 플로이드 워셜 알고리즘
INF = int(1e9) # 무한을 의미
# 노드의 개수 및 간선의 개수 입력받기
n = int(input())
m = int(input())
# 2차원 리스트(그래프 표현)를 만들고, 무한으로 초기화
graph = [[INF] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]

# 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0
for i in range(1, n + 1):
    for j in range(1, n + 1):
        if i == j:
            graph[i][j] = 0

# 각 간선에 대한 정보를 입력받아, 그 값으로 초기화
for _ in range(m):
    # A에서 B로 가는 비용은 C라고 설정
    a, b, c = map(int, input().split())
    graph[a][b] = c

# 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘 수행
for k in range(1, n + 1):
    for a in range(1, n + 1):
        for b in range(1, n + 1):
            graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])

# 수행 결과 출력
for a in range(1, n + 1):
    for b in range(1, n + 1):
        # 도달할 수 없는 경우 무한이라고 출력
        if graph[a][b] == INF:
            print("INFINITY", end=" ")
        # 도달할 수 있는 경우 거리 출력
        else:
            print(graph[a][b], end=" ")
    print()

 

성능 분석

  • 노드의 개수가 N개일 때 알고리즘 상으로 N번의 단계를 수행
    • 각 단계마다 O(N제곱)의 연산을 통해 현재 노드를 거쳐가는 모든 경로를 고려
  • 따라서 총 시간 복잡도는 O(N세제곱)

최단경로 알고리즘 기초 문제 풀이🥺

 

<문제> 전보

문제 설명

문제에서의 의미 ==> 통로는 방향성이 있는 간선 ==> 방향 그래프

출발점은 C

 

문제 조건

 

내 풀이(플로이드-워셜 알고리즘 사용)

n, m, c = map(int, input().split())
graph = [[10000] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]
for i in range(1, n + 1):
    for j in range(1, n + 1):
        if i == j:
            graph[i][j] = 0
for _ in range(m):
    x, y, z = map(int, input().split())
    graph[x][y] = z

for k in range(1, n + 1):
    for a in range(1, n + 1):
        for b in range(1, n + 1):
            graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])


print(n - graph[c].count(10000), max(graph[c][1:]))

문제 해결 아이디어를 보고 다익스트라 알고리즘으로 다시 구현한 내 풀이

# 다익스트라 알고리즘을 사용
import heapq
n, m, c = map(int, input().split())
graph = [[] for _ in range(n + 1)]
distance = [10000] * (n + 1)
for _ in range(m):
    x, y, z = map(int, input().split())
    graph[x].append((y, z))

def dijkstra(start):
    q = []
    # 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
    heapq.heappush(q, (0, start))
    distance[start] = 0
    while q: # 큐가 비어있지 않다면
        # 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
        dist, now = heapq.heappop(q)
        # 현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
        if distance[now] < dist:
            continue
        # 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
        for i in graph[now]:
            cost = dist + i[1]
            # 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[i[0]]:
                distance[i[0]] = cost
                heapq.heappush(q, (cost, i[0]))


dijkstra(c)

print(n - distance.count(10000), max(distance[1:]))

 

문제 해결 아이디어

  • 핵심 아이디어 : 한 도시에서 다른 도시까지의 최단 거리 문제로 치환할 수 있음.
  • N과 M의 범위가 충분히 크기 때문에 우선순위 큐를 활용한 다익스트라 알고리즘으로 구현

 

답안 예시

import heapq
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수, 시작 노드를 입력받기
n, m, start = map(int, input().split())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    x, y, z = map(int, input().split())
    # X번 노드에서 Y번 노드로 가는 비용이 Z라는 의미
    graph[x].append((y, z))

def dijkstra(start):
    q = []
    # 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
    heapq.heappush(q, (0, start))
    distance[start] = 0
    while q: # 큐가 비어있지 않다면
        # 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보를 꺼내기
        dist, now = heapq.heappop(q)
        if distance[now] < dist:
            continue
        # 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
        for i in graph[now]:
            cost = dist + i[1]
            # 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[i[0]]:
                distance[i[0]] = cost
                heapq.heappush(q, (cost, i[0]))

# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)

# 도달할 수 있는 노드의 개수
count = 0
# 도달할 수 있는 노드 중에서, 가장 멀리 있는 노드와의 최단 거리
max_distance = 0
for d in distance:
    # 도달할 수 있는 노드인 경우
    if d != 1e9:
        count += 1
        max_distance = max(max_distance, d)

# 시작 노드는 제외해야 하므로 count - 1을 출력
print(count - 1, max_distance)

 

<문제> 미래 도시

문제 설명

 

문제 조건

 

 

내 풀이

# 내 풀이
n, m = map(int, input().split())
graph = [[10000] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]
for i in range(1, n + 1):
    for j in range(1, n + 1):
        if i == j:
            graph[i][j] = 0
for _ in range(m):
    x, y = map(int, input().split())
    graph[x][y] = 1

for k in range(1, n + 1):
    for a in range(1, n + 1):
        for b in range(1, n + 1):
            graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])

x, k = map(int, input().split())
if graph[1][x] == 10000 or graph[1][k] == 10000:
    print(-1)
else:
    print(graph[1][x] + graph[1][k])

 

문제 해결 아이디어

  • 핵심 아이디어 : 전형적인 최단 거리 문제이므로 최단 거리 알고리즘을 이용해 해결한다.
  • N의 크기가 최대 100이므로 플로이드 워셜 알고리즘을 이용해도 효율적으로 해결할 수 있음
  • 플로이드 워셜 알고리즘을 수행한 뒤에 1~x 까지의 최단거리 + x~k 까지의 최단거리를 구하면 됨

 

답안 예시

INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수 및 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 2차원 리스트(그래프 표현)를 만들고, 모든 값을 무한으로 초기화
graph = [[INF] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]

# 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
for a in range(1, n + 1):
    for b in range(1, n + 1):
        if a == b:
            graph[a][b] = 0

# 각 간선에 대한 정보를 입력 받아, 그 값으로 초기화
for _ in range(m):
    # A와 B가 서로에게 가는 비용은 1이라고 설정
    a, b = map(int, input().split())
    graph[a][b] = 1
    graph[b][a] = 1

# 거쳐 갈 노드 X와 최종 목적지 노드 K를 입력받기
x, k = map(int, input().split())

# 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘을 수행
for k in range(1, n + 1):
    for a in range(1, n + 1):
        for b in range(1, n + 1):
            graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])

# 수행된 결과를 출력
distance = graph[1][k] + graph[k][x]

# 도달할 수 없는 경우, -1을 출력
if distance >= 1e9:
    print("-1")
# 도달할 수 있다면, 최단 거리를 출력
else:
    print(distance)

아 양방향이라서 내 코드에 graph[y][x] = 1을 한줄 추가해줘야하네

 

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